수학
수학은 수, 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 연구하는 학문이다.
수학적 아름다움
[편집]- 모든 수학적 문제는 해결될 수 있다는 이러한 확신은 연구하는 동안 우리에게 강력한 자극제가 됩니다. 우리 마음속에서는 다음과 같은 찬란한 소리가 끊임없이 들려옵니다. "문제가 여기에 있으니, 답을 찾아라. 순수한 사고를 통해 그것을 찾을 수 있다. 왜냐하면 수학에는 알 수 없는 것(Ignorabimus)이란 없기 때문이다!"
- 독일어: Diese Ueberzeugung von der Lösbarkeit eines jeden mathematischen Problems ist uns ein kräftiger Ansporn während der Arbeit; wir hören in uns den steten Zuruf: Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik giebt es kein Ignorabimus!
- 다비트 힐베르트. Mathematische Probleme, 1900 auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse, Commissionsverlag der Dieterich'schen Universitätsbuchhandlung Lüder Horstmann, Göttingen 1900, S. 262
- 어떤 수학자들은 넓은 조망만을 좋아합니다. 어떤 결과를 마주하면 그들은 즉시 그것을 일반화하기를 꿈꾸며, 이웃한 결과들과 엮어 더 높은 피라미드의 기초로 삼아 더 멀리 바라보고자 합니다. 반면 이러한 지나치게 광범위한 시각을 꺼리는 이들도 있습니다. 아무리 거대한 풍경이 아름다울지라도 먼 지평선은 언제나 다소 흐릿하기 마련이기 때문입니다. 그들은 세부 사항을 더 잘 보고 이를 완벽의 경지로 이끌기 위해 스스로를 좁은 범위에 한정하기를 선호합니다. 그들은 세공사처럼 일하며, 시인보다는 예술가에 가깝습니다.
- 프랑스어: Certains mathématiciens n’aiment que les larges aperçus ; en présence d’un résultat, ils rêvent immédiatement de le généraliser, cherchent à le rapprocher des résultats voisins pour en faire comme la base d’une pyramide plus haute et d’où ils verront plus loin. Il y en a d’autres auxquels répugnent ces vues trop étendues, parce que, si beau que soit un vaste paysage, les horizons lointains sont toujours un peu vagues ; ils préfèrent se restreindre pour mieux voir les détails et les amener à la perfection ; ils travaillent comme le ciseleur ; ils sont plus artistes que poètes.
- 앙리 푸앵카레. 《학자와 문인들》(Savants et écrivains) chap. Introduction, p. VIII
- 사람들은 왜 수학이 아름다운지 물을지도 모른다. 완성된 수학 이론은 처녀지 위에 기초를 두고, 세월을 거스르는 고적과도 같은 장엄한 궁전으로 치솟아 오른 잘 지어진 건축물이다. 말하자면 종교적 가치는 덜어내고 완벽한 논리를 더한 성당인 셈이다. 아름다운 이론이나 기발한 증명을 읽고 발견하는 것은 때로는 힘겨운 등반과도 같아서, 정상에 오른 끝에 출발점과 지나온 길을 아래로 굽어볼 수 있게 된다. 아름다운 수학적 추론은 바흐의 협주곡이나 조화로운 발레에 비견될 만하다.
- 프랑스어: On peut se demander pourquoi les mathématiques sont belles. Une théorie mathématique achevée est un édifice bien construit dont les fondations reposent sur un terrain vierge et qui culmine en un palais majestueux semblable aux monuments qui défient le temps. Une cathédrale, la valeur religieuse en moins, la logique parfaite en plus. Lire, trouver une belle théorie ou une démonstration ingénieuse, c'est faire une ascension parfois difficile au terme de laquelle on peut, du sommet, contempler le point de départ et le chemin suivi. Un beau raisonnement mathématique est comparable à un concerto de Bach ou à un ballet harmonieux.
- 로랑 슈바르츠. 자서전 《세상과 맞붙은 어느 수학자》(Un mathématicien aux prises avec le siècle) partie I. Années de jeunesse, chap. 1. La révélation des mathématiques, p. 53-54
- 제 수학 연구 경험을 가장 잘 비유하자면, 어둡고 탐험되지 않은 저택을 통과하는 여정이라고 할 수 있습니다. 여러분이 저택의 첫 번째 방에 들어가면 안은 완전히 캄캄합니다. 가구에 부딪히며 이리저리 더듬거리지만, 서서히 각 가구가 어디에 있는지 알게 됩니다. 마침내 6개월쯤 지나면 전등 스위치를 찾게 되고, 그것을 켜면 순식간에 모든 곳이 밝아집니다. 자신이 정확히 어디에 있었는지 볼 수 있게 되는 것이죠. 그러고 나서 다음 방으로 이동해 또 다른 6개월을 어둠속에서 보냅니다. 따라서 이러한 돌파구들은 때로는 순간적이거나 하루이틀 사이에 일어나기도 하지만, 그것은 그에 앞서 수개월 동안 어둠 속을 헤매던 시간들이 없었다면 존재할 수 없는, 그 노력의 정점입니다.
- 영어: Perhaps I can best describe my experience of doing mathematics in terms of a journey through a dark unexplored mansion. You enter the first room of the mansion and it's completely dark. You stumble around bumping into the furniture, but gradually you learn where each piece of furniture is. Finally, after six months or so, you find the light switch, you turn it on, and suddenly it's all illuminated. You can see exactly where you were. Then you move into the next room and spend another six months in the dark. So each of these breakthroughs, while sometimes they're momentary, sometimes over a period of a day or two, they are the culmination of—and couldn't exist without—the many months of stumbling around in the dark that proceed them.
- 앤드루 와일스. Nova Interview 중.
- Q: 수학의 매력이 뭘까요?
A: 정치나 다른 분야에선 아무리 많은 이야기를 나눠도 서로 소통이 안 되면 내가 사는 섬과 상대가 사는 섬의 거리를 좁힐 수 없어요. 수학은 답을 찾는 데 걸리는 시간과 방향은 사람마다 달라도 도달하는 정답은 하나예요. 내 의견을 설득하려고 언성 높일 필요도 없고요. 충분히 시간만 있으면 서로 한 치 어긋남 없이 완벽하게 소통할 수 있다는 확신이 있습니다. 요즘처럼 의견 대립하다가 지치면 ‘생각하기 나름’이라고 어물쩍 결론 내려버리는 세상에선 더 의미가 있죠.- 허준이. 2022년 1월 1일. 조선일보와의 인터뷰 중
법칙
[편집]- 수학 법칙이 현실을 참조하는 한 그것은 불확실하며, 그것이 확실한 한 현실을 참조하지 않는다.
- 독일어: Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.
- 알베르트 아인슈타인. 1921년 프로이센 과학 아카데미 강연 논문 《강연과 수필: 지오메트리와 경험》(Geometrie und Erfahrung)에서
- 유용해지려는 욕구도 전혀 없고, 그것이 어떤 분야에 유용해질지 아무도 알 수 없는 상황에서, 그리고 그렇게 될 것이라는 일반적인 징후조차 없던 상황에서 발전한 수학의 상당 부분이 결국 유용하게 되었습니다. 대개 수학에서는 수학적 발견과 그것이 유용해지는 순간 사이에 시간차가 존재한다는 것이 언제나 참입니다. 이 시간차는 30년에서 100년, 때로는 그 이상이 될 수도 있습니다. 그리고 이 전체 시스템은 어떠한 방향성도 없이, 유용성에 대한 어떠한 고려도 없이, 그리고 유용한 일을 하려는 어떠한 의도도 없이 작동하는 것처럼 보입니다.
- 영어: A large part of mathematics which becomes useful developed with absolutely no desire to be useful, and in a situation where nobody could possibly know in what area it would become useful; and there were no general indications that it ever would be so. By and large it is uniformly true in mathematics that there is a time lapse between a mathematical discovery and the moment when it is useful; and that this lapse of time can be anything from 30 to 100 years, in some cases even more; and that the whole system seems to function without any direction, without any reference to usefulness, and without any desire to do things which are useful.
- 존 폰 노이만. "The Role of Mathematics in the Sciences and in Society" (1954) an address to Princeton alumni, published in John von Neumann : Collected Works (1963) edited by A. H. Taub ; also quoted in Out of the Mouths of Mathematicians : A Quotation Book for Philomaths (1993) by R. Schmalz
- 수학은 무모순이 용납하는 어떤 정의도 허락합니다. 수학자들 주요 업무가 그중 무엇을 쓸지 선택하는 것인데, 언어를 어떻게 사용할 것인가에 대한 가능한 여러가지 약속 중 무엇이 가장 아름다운 구조를 끌어내는 지가 그 가치의 잣대가 됩니다.
- 허준이. 2022학년도 서울대학교 제76회 후기 학위수여식. 필즈상 허준이 졸업식 축사 5:04
철학
[편집]- 그러나 나는 모든 특정한 자연이론 속에 수학이 들어 있는 만큼만 진정한 과학이 포함될 수 있다고 주장한다.
- 독일어: Ich behaupte aber, daß in jeder besonderen Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne, als darin Mathematik anzutreffen ist.
- 이마누엘 칸트. Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft, A VIII
- 내가 수학을 우리가 행성이라 부르는 한 쌍의 흙덩이에 적용하든, 순수한 산술 문제에 적용하든 결과는 마찬가지다. 다만 후자가 나에게 훨씬 더 큰 매력을 줄 뿐이다.
- 독일어: Ob ich die Mathematik auf ein Paar Dreckklumpen anwende, die wir Planeten nennen, oder auf rein arithmetische Probleme, es bleibt sich gleich, die letztern haben nur noch einen höhern Reiz für mich.
- 카를 프리드리히 가우스. Gauß nach W. Sartorius v. Waltershausen 1856, Neudruck 1965, S. 101/102.
역사
[편집]- 제가 보기에 수학의 가장 큰 문제는 편견이 너무 많다는 점입니다. 수학을 건조하고 유클리드 시대부터 오늘날까지 전혀 변하지 않은 학문이라고 생각하곤 하죠. 하지만 실상 수학은 엄청나게 활발한 분야이며, 지난 30년 동안 그 어느 때보다 활발하게 발전해 왔고 일상의 수많은 영역에서 응용되고 있습니다.
- 이탈리아어: Secondo me il grosso problema della matematica è che si sono molti pregiudizi, si pensa che sia una materia arida, che non è mai cambiata dai tempi di Euclide a oggi. In verità è una disciplina estremamente attiva, anzi non è mai stata così attiva come negli ultimi 30 anni ed ha applicazioni in molti campi della quotidianità.